최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree) - 1

1. 최소 신장 트리 문제

• 아래와 같은 그래프가 있다고 가정하자.

• 각각의 노드를 도시로, 간선을 도로로 생각해보자. 우리는 정부에서 예산을 받아 해당 도시들을 모두 이어주는 도로들을 만들어야 한다. 지금 주어진 간선들은 도로 후보군들로, 각 도로를 건설하는데 드는데 소비되는 예산이 표시되어있다.
• 언제나 예산은 부족하기 때문에 우리는 최소의 비용으로 모든 도시를 이어줄 수 있도록 하는 도로 후보군들을 뽑아야 한다. 이때, 드는 예산의 최소값은 얼마인가?
• 이것에 대한 정답은 아래와 같이 간선을 연결하는 경우이며, 총 예산은 37이 된다.

• 이때 진하게 칠해져 있는 노드들과 간선의 집합을 통틀어 최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree - MST)라고 부른다.

 

 

 

2. MST의 정의

• MST의 정의는 심플하게 설명하면 아래와 같다.
  • 어떤 무방향 가중치 그래프 $G(V, E)$가 존재할 때, 다음과 같은 간선 $E$의 부분집합 $T$가 존재한다.
  • $T$에 속한 간선들에 의해 그래프의 모든 정점이 서로 연결된다.
  • 이때 각 간선 $(u, v) \in E$에 대한 가중치$w(u, v)$의 합 즉, $\Sigma_{(u,v) \in T} w(u, v)$ 가 최소가 되어야 한다.
• 이를 풀어서 설명하자면 무방향 가중치 그래프에서 모든 정점을 연결하면서, 동시에 그 가중치의 합이 최소가 되는 간선의 집합을 MST라고 한다.
• 그렇다면 왜 Tree 인가? 라는 생각을 할 수 있다. 이는 사실 가중치의 합이 최소가 된다 라는 관점에서 살펴보면 너무나 당연한 의미가 된다.
  • Tree의 정의는 사이클이 없는 무방향 그래프로 정의할 수 있다.
  • 그렇다면 먼저 Tree일 필요가 없다고 가정해 보자 즉, 가중치의 합이 최소가 되는 그래프가 존재하고, 이 그래프 내부에 사이클이 존재한다는 가정을 해보자.
  • 이는 모든 정점이 연결되어 있는 동시에 가중치의 합이 최소가 되는 그래프이다. 그런데 생각해 보면 사이클이 만들어지면, 하나의 정점에서 다른 정점으로 가는 길이 2가지가 된다는 것이다.
  • 이는 곧 두 가지 길 중 하나를 끊어도, 즉 두 개의 간선 중 하나를 삭제시켜도, 모든 노드가 연결된다는 조건은 만족된다. 동시에 두 개의 간선 중 하나를 삭제하기 때문에, 가중치의 합이 그만큼 줄어든다. 즉, 사이클을 이루는 간선 중 하나를 삭제함으로서 모든 정점이 연결되는 동시에 가중치의 합이 더 최소가 되는 그래프가 완성되었다.
  • 이는 맨 처음 "가중치의 합이 최소가 되는 그래프가 존재하고, 이 그래프 내부에 사이클이 존재한다" 라는 가정과 모순된다. 따라서 사이클이 존재하지 않아야 한다는 것이 참으로 증명되었다.
  • 이때 그래프 내부에 사이클이 존재하지 않으므로, 해당 그래프 구조는 곧 Tree라고도 할 수 있다.

 

 

 

3. MST 알고리즘

3.1. Generic MST 알고리즘

• 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘은 여러 가지가 존재하나 공통적인 알고리즘은 아래와 같은 순서로 이루어진다.
  • 먼저 $A = \emptyset$ 인 집합을 선언한다.
  • 이 집합 $A$에 대해 안전한 간선을 하나 찾은 후, 이를 $A$에 더한다(Union)
  • $A$에 속한 에지의 개수가 $N - 1$개가 될 때 까지 2번을 반복한다.
• 알고리즘은 매우 심플해보인다. 하지만 "안전한" 이라는 것의 정의를 아직 내리지 않았다. 이것에 대하여 먼저 살펴보아야 해당 알고리즘을 이해할 수 있을 것이다.
• 위에서 말한 "안전한"의 의미는 아래와 같다.
  • 어떤 MST의 부분집합 $A$에 대하여 $A \cup \{(u, v)\}$를 수행할 때 그 결과 역시 어떤 MST의 부분집합이 될 때 이 간선 $E(u, v)$가 $A$에 대하여 안전하다(safe) 라고 정의한다.

 

 

 

3.2. Find Safe Edge

• 이제 안전한 간선이 어떤 것인지를 알아봤으니 이 안전한 간선을 어떻게 찾을 것인가에 대하여 고민해보아야 한다.
• 이를 알아보기 위해서 다음과 같은 용어를 사용할 것이다.
  • 어떤 그래프 $G = (V, E)$가 있을 때, 그래프의 정점들을 두 개의 집합 $S$와 $V-S$로 분할한 것을 컷 $(S, V-S)$라고 부른다.
  • 어떠한 간선 $E(u, v)$에 대하여, $u \in S$이고, $v \in (V-S)$일 때 $E(u, v)$는 컷 $(S, V-S)$를 cross한다 라고 정의한다.
  • 간선들의 부분집합 $A$에 속한 어떤 간선도 컷  $(S, V-S)$를 cross 하지 않을 때 컷 $(S, V-S)$는 간선들의 부분집합 $A$를 존중한다(respect)라고 정의한다.
• 글로만 보면 이해가 힘들어 보인다. 그림을 예시로 들어 한번 위의 개념들을 알아보자

• 이때 정점의 집합 $V$는 그래프에 있는 모든 정점을 모은 집합으로 정의된다.
• 아래 사진과 같이 $V$에 대한 부분 집합 $S$를 설정하였다. 그럼 $S$에 포함되지 않은 모든 정점은 자연스럽게 $(V - S)$로 포함될 것이다.

• 이렇게 분리된 상황 이 자체를 앞으로 컷 $(S, V - S)$라고 정의한다.
• 위 그림에서 간선 $E(b, c)$와 $E(f, e)$를 살펴보자 $b, f \in S$이고, $c, e \in (V-S)$이다. 즉 이 집합 사이를 교차하고 있다는 것이다. 이것을 이제 간선 $E(b, c)$, $E(f, e)$가 컷 $(S, V - S)$를 크로스(cross)한다 라고 정의한다.
• 어떤 MST의 부분집합 $A$가 존재한다고 가정한다. $A = \{E(a, b), E(a, f), E(d, c), E(d, e)\}$ 라고 하자. 아래 그림에서는 굵은 간선이 부분집합 $A$에 포함된 간선이 될 것이다.

• $A = \{E(a, b), E(a, f), E(d, c), E(d, e)\}$ 인 간선들을 잘 살펴보자. $A$에 포함된 어떤 간선도, 컷 $(S, V-S)$를 크로스하지 않는다는 것을 알 수 있다.우리는 이를 집합 $A$가 컷 $(S, V-S)$을 존중한다(respect)라고 할 것이다.
• 위의 장황한 설명과 예시를 통해 용어들의 정리를 마쳤다.이 용어들이 왜 필요한지는 다음 글에서 다루도록 하겠다.